Pembahasan Matdas Sbmptn 2018 Arahan 550 Part Iii

Soal No.56
Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan
$(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ , maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x)\leq 6$ yaitu ...

Pembahasan No.56

\begin{split}& (f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}\\\Rightarrow & f(g(x))=\dfrac{2x-1}{x-1}\\\Rightarrow & f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}\end{split}Misalkan $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ ,
kuadratkan kedua ruasnya maka :  \begin{split}& y^2=\dfrac{1}{x-1}\\\Rightarrow & x-1=\dfrac{1}{y^2}\\\Rightarrow & x=\dfrac{1}{y^2}+1\end{split}
Dengan demikian
$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ sanggup ditulis menjadi :  \begin{split}& f(y)=\dfrac{2\left( \dfrac{1}{y^2}+1 \right)-1}{\left( \dfrac{1}{y^2}+1\right)-1}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+2-1}{\dfrac{1}{y^2}}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+1}{\dfrac{1}{y^2}}\times \dfrac{y^2}{y^2}\\\Rightarrow & f(y)=2+y^2\end{split}

Sehingga $f(x)=2+x^2$  .
\begin{split}& 1 \leq f(x) \leq 6\\\Rightarrow & 1 \leq 2+x^2\leq 6\\\Rightarrow & -1 \leq x^2\leq 4\\\Rightarrow & x^2 \leq 4\\\Rightarrow & x^2-4 \leq 0\\\Rightarrow & (x+2)(x-2)\leq 0\\\Rightarrow & -2 \leq x \leq 2\end{split}

Soal No.57
Diketahui $f(g(x))=x^2-6x$ untuk $x\leq 0$ dan $g(x+3)=x$ untuk semua bilangan real $x$ .
Jika $f^{-1}$ ada, maka $(g \circ f^{-1})(0)$ yaitu ...

Pembahasan No.57

Ganti $x$ dengan $x-3$ pada persamaan $g(x+3)=x$
didapatkan  $g(x)=x-3$
Misalkan $f^{-1}(0)=a$
maka $f(a)=0$
Diketahui pula  $f(g(x))=x^2-6x$

Dari dua persamaan di atas $g(x)=a$  dan $x^2-6x=0$ \begin{split}& x^2-6x=0\\\Rightarrow & x(x-6)=0\\\Rightarrow & x=0 \vee x=6\end{split}
Karena $x \leq 0$ maka $x=0$ . Substitusikan $x=0$ ke persamaan $g(x)=a$ diperoleh $x-3=a\Rightarrow a=-3$    .

Dengan demikian $f^{-1}(0)=-3$  .
Jadi\begin{split}(g \circ f^{-1})(0) & =g(f^{-1}(0))\\& =g(-3)\\& =-3-3\\& =-6\end{split}

Soal No.58
$\displaystyle\int\sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx=\ldots$

Pembahasan No.58
\begin{split}& \int \sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx\\= & \int \sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\\= & \int x^2+\dfrac{1}{x^2}\ dx\\= & \int x^2+x^{-2}\ dx\\= & \dfrac{1}{3}x^3-x^{-1}+C\\= & \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{x}+C\end{split}

Soal No.59

Diketahui $f(x)=x^2-ax+2$ dan $g(x)=ax^2+x-1$    dengan
$f'(1)+g'(1)=5$   .
Jika $h(x)=f(x)g(x)$  , maka $h'(1)$ yaitu ...

Pembahasan No.59

$f'(x)=2x-a$    dan $g'(x)=2ax+1$
Karena $f'(1)+g'(1)=5$    maka \begin{split}& (2-a)+(2a+1)=5\\\Rightarrow & a+3=5\\\Rightarrow & a=2\end{split}
Dengan demikian
$f(1)=1^2-2\cdot 1+2=1$
$g(1)=2\cdot 1^2+1-1=2$
$f'(1)=2\cdot 1-2=0$
$g'(1)=2\cdot 2\cdot 1+1=5$

Makara $h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$      dan \begin{split}h'(1) & =f'(1)g(1)+f(1)g'(1)\\& =0\cdot 2+1\cdot 5\\& =5\end{split}

Soal No.60

Pict from : epsilonpositif.com

Diketahui ΔABC siku-siku di A dengan AB : AC = 3 : 2. Titik D merupakan titik tengah BC dan melalui D ditarik garis memotong AB di titik E. Jika luas ACDE : luas BDE = 5 : 3, maka nilai AE : AB yaitu ...

Pembahasan No.60

Karena $AB : AC = 3 : 2$ maka sanggup dimisalkan $AB= 3x$   dan $AC = 2x$  .

Pict from : epsilonpositif.com

Karena $D$ yaitu titik tengah $BC$ maka $t=\frac{1}{2}AC=x$ ibarat diilustrasikan pada gambar di atas.
luas ACDE : luas BDE = 5 : 3 maka luas ABC : BDE = 8 :3
\begin{split}& \dfrac{\frac{1}{2}3x \cdot 2x}{\frac{1}{2}EB\cdot t}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & \dfrac{3x\cdot 2x}{EB\cdot x}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & \dfrac{6x}{EB}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & EB=\dfrac{18x}{8}=\dfrac{9}{4}x\end{split}
Dengan demikian panjang
$AE=3x-\dfrac{9}{4}x=\dfrac{3}{4}x$ .
Makara $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{\frac{3}{4}x}{3x}=\dfrac{1}{4}=1:4$

Lanjutan :