Pembahasan Matipa Sbmptn 2018 Isyarat 449 Part I

Soal No.1

Jika periode fungsi
$f(x)=2\cos(ax)+a$ ialah $\dfrac{\pi}{3}$, maka nilai minimum fungsi $f$ ialah ...

Pembahasan No.1

Periode fungsi $f$ di atas ialah $\dfrac{\pi}{3}$ maka $$\dfrac{2\pi}{a}=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow a=6$$

Oleh sebab itu: $$f(x)=2\cos(6x)+6$$ 

Karena nilai minimum dari $\cos(6x)$ ialah $-1$ maka nilai minimum $f$ ialah $-2+6=4$

Soal No.2

Diketahui gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ ialah $-3$. Jika $P$ dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan, maka gradien garis yang melalui $P'$ dan $O(0,0)$ ialah 2. Titik $P$ ialah ...

Pembahasan No.2
Gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ ialah $-3$ maka : $$\dfrac{b-0}{a-0}=-3\Rightarrow b=-3a$$ $P(a,b)$ dicerminkan terhadap sumbu Y akan menjadi $(-a,b)$   , kemudian $(-a,b)$ digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan menjadi $P'(-a+2,b+5)$

Gradien garis yang melalui $P'(-a+2,b+5)$ dan $O(0,0)$ ialah 2 maka \begin{split}& \dfrac{b+5-0}{-a+2-0}=2\\\Rightarrow & b+5=-2a+4\end{split}
Karena $b=-3a$ maka persamaan di atas menjadi: $$-3a+5=-2a+4\Rightarrow a=1$$
Oleh sebab itu $b=-3a=-3$ .
Kaprikornus titik $P$ ialah $(1,-3)$

Soal No.3

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}$ cm. Jika titik $P$ di tengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ di tengah-tengah $BC$, maka jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ ialah ... cm

Pembahasan No.3

Pict from : epsilonpositif.com

Berdasarkan ilustrasi di atas jarak titik $H$ ke garis $PQ$ sama dengan panjang $HR$ . Untuk mendapat panjang $HR$ sanggup diterapkan rumus pythagoras pada segitiga siku-siku $HDR$.

$P$ dan $Q$ ialah titik tengah dari $AB$ dan $BC$ maka $RB$ akan menjadi $ \dfrac{1}{4}DB$ , dengan demikian, \begin{split}DR & =\dfrac{3}{4}DB\\& =\dfrac{3}{4}2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}& =3\end{split}

Kaprikornus jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ ialah : \begin{split}HR & =\sqrt{HD^2+DR^2}\\& =\sqrt{(2\sqrt{2})^2+3^2}\\& =\sqrt{17}\end{split}

Soal No.4

$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{8}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}=\ldots$

Pembahasan No.4

\begin{split}& \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{8}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}\\= & \dfrac{\lim\limits_{x \to\infty} 8}{\lim\limits_{x \to\infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}\\= & \dfrac{8}{\dfrac{2-(-6)}{2\sqrt{1}}}\\= & \dfrac{8}{\dfrac{8}{2}}\\= & 2\end{split}

Soal No.5

Misalkan $a+3$ , $a-1$ , $2$ membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin ialah ...

Pembahasan No.5

$a+3$ , $a-1$ , $2$ membentuk barisan geometri maka berlaku \begin{split}& \dfrac{a-1}{a+3}=\dfrac{2}{a-1}\\\Rightarrow & (a-1)^2=2(a+3)\\\Rightarrow & a^2-2a+1=2a+6\\\Rightarrow & a^2-4a-5=0\\\Rightarrow & (a-5)(a+1)=0\\\Rightarrow & a=5 \vee a=-1\end{split}

Jika $a=5$ maka barisan geometri tersebut ialah $8$, $4$, $2$, $\dfrac{1}{2}$... dan jumlah 11 suku pertamanya merupakan bukan bilangan bundar dan tidak ada pilihan jawabannya.

Jika $a=-1$ maka barisan geometri tersebut ialah $2$ , $-2$ , $2$ , $-2$... dan jumlah 11 suku pertamanya ialah $S_{11}=\dfrac{2((-1)^2-1)}{-1-1}=2$


Lanjutan :