Pembahasan Soal Matipa Sbmptn 2017 Aba-Aba 147 Part Iii

Soal No.11

$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\cos^2 \left(\dfrac{2}{x} \right)}{x \tan\left(\dfrac{1}{2x} \right)} =\ldots$

Pembahasan No.11

Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka $x=\dfrac{1}{y}$ . Jika $x \to \infty$ maka $y \to 0$ , Akibatnya limit di atas sanggup ditulis kembali menjadi \begin{split}& \lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos^2 \left(\dfrac{2}{x} \right)}{x \tan\left(\dfrac{1}{2x} \right)}\\= & \lim_{y \to 0}\dfrac{\cos^2 2y}{\frac{1}{y}\tan \left(\dfrac{y}{2}\right)}\\= & \dfrac{\lim\limits_{y \to 0} \cos^2 2y}{\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\tan\left(\dfrac{y}{2} \right)}{y}}\\= & \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\= & 2\end{split}

Soal No.12

Diketahui asimtot tegak fungsi $f(x)=\dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}}$ dengan $a> 0$ yaitu $y=-2$ . Jika asimtot tegak dari $f$ yaitu $x=x_1$ dengan $ax_1=20$ , maka $a+b$ yaitu ...

Pembahasan No.12

Mungkin di soal ini terjadi salah pengetikan pada kata-kata yang digaris bawahi. Seharusnya asimtot datar.Karena asimtot datarnya yaitu $y=-2$ maka $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=-2$$$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}} =-2$$ Kalikan ruas kiri dengan $\dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ akan diperoleh \begin{split}& \lim_{x \to \infty}\dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}} \times\dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} =-2\\\Rightarrow & \lim_{x \to\infty} \dfrac{\sqrt{a+\frac{1}{x}}}{\frac{b}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}} = -2\\\Rightarrow &\dfrac{\sqrt{a+0}}{0-\sqrt{1+0}} = -2\\\Rightarrow &\dfrac{\sqrt{a}}{-1} = -2\\\Rightarrow & \sqrt{a} = 2\\\Rightarrow & a = 4\end{split} Karena $ax_1=20$ dan $a=4$ maka $x_1=5$ sehingga asimtot tegaknya yaitu $x=5$ . Ini berarti penyebut dari $f$ akan bernilai $0$ untuk $x=5$ .
\begin{split}& b-\sqrt{5+4} = 0\\\Rightarrow & b = 3\end{split}
Makara $a+b=4+3=7$

 Soal No.13
Jika $f(x)=\cos^2 (\sin 2x)$ , maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan No.13

Misalkan $u=\sin 2x$ maka $\dfrac{du}{dx}=2\cos 2x$ dan $f=\cos^2 (u)$ .
Makara \begin{split}f'(x) & = \frac{df}{dx}\\& = \frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\& = 2\cos u \cdot -\sin u\cdot 2\cos 2x\\& = -\sin 2u \cdot 2\cos 2x\\& = -2\sin(2\sin 2x)\cos 2x\end{split}

Soal No.14
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ dititik $(1,b)$ yaitu $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$

Pembahasan No.14

Gradien garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ dititik $(1,b)$ yaitu nilai turunan pertama kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $x=1$ . $$y' = 3x^2 +\dfrac{a}{2\sqrt{x}}$$ Substitusikan $x=1$ diperoleh gradien $$m=3+\dfrac{a}{2}$$
Karena persamaan garis singgung tersebut yaitu $y=ax-c$ , maka gradiennya juga $m=a$
akhirnya $$3+\dfrac{a}{2}=a$$
Dari persamaan di atas diperoleh $a=6$ . sehingga persamaan kurva yaitu $$y=x^3+6\sqrt{x}$$ Kurva tersebut melalui titik $(1,b)$ berarti $$b=1^3+6\sqrt{1}=7$$
Dengan rumus
$y-y_1=m(x-x_1)$
diperoleh persamaan garis singgungnya \begin{split}& y-7=6(x-1)\\\Rightarrow & y=6x+1\end{split}
Dari persamaan di atas diperoleh $-c=1\Rightarrow c=-1$ .
Makara $a+b+c=6+7-1=12$

Soal No.15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah yaitu ...

Pembahasan No.15

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih
Kasus pertama dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya yaitu $2\cdot\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 sebab urutan sanggup putih dulu kemudian merah atau merah dulu gres putih) dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya yaitu $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama yaitu $\dfrac{8}{25} \cdot\dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$
Kasus kedua dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya yaitu $\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$ dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya yaitu $2\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua yaitu $\dfrac{16}{25} \cdot\dfrac{2}{4} =\dfrac{8}{25}$
Makara peluang yang terambil 1 bola merah yaitu $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Lanjutan :