Pembahasan Soal Matipa Sbmptn 2017 Isyarat 147 Part Ii

Soal No.6

Suatu hiperbola mempunyai dua fokus $F_1$ dan $F_2$ yang terletak pada sumbu Y. Jarak kedua fokus tersebut 12, sedangkan jarak kedua puncaknya 10. Jika $P$ ialah salah satu titik potong dengan garis mendatar melalui $F_1$, maka panjang $PF_1 + PF_2=\ldots$

Pembahasan No.6

Karena kedua fokus parabola terletak pada sumbu Y maka sanggup dimisalkan parabola tersebut ialah parabola vertikal dengan pusat$(0,0)$ yang persamaannya $$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$ dan sketsanya menyerupai berikut

Pict from : epsilon positif

Jarak antara kedua puncaknya ialah 10 maka $2a=10 \Rightarrow a=5$ Jarak antara kedua fokusnya ialah 12 maka $2c=12 \Rightarrow c=6$ Salah satu karakteristik parabola ialah $a^2+b^2=c^2$ , dengan menggunakannya diperoleh nilai $b^2=11$
$PF_1$ merupakan setengah dari panjang latus rectum hiperbola dan dinyatakan dengan $\dfrac{b^2}{a}$ .
Dengan demikian $PF_1=\dfrac{11}{5}=2.2$
$PF_2$ sanggup dihitung memakai rumus pythagoras \begin{split}PF_2=&\sqrt{PF_1^2+F_1F_2^2}\\= & \sqrt{12^2+2.2^2}\\= & \sqrt{148.84}\\= & 12.2\end{split}
Makara $PF_1+PF_2 = 12.2+2.2=14.4$

Soal No.7

Jika sisa pembagian $q(x)=2bx^3+cx+2$ oleh $(x-1)$ ialah $5$ dan $p(x)=x^2+2bx+c$
oleh $(x+1)$ ialah $6$ , maka $4b+c=\ldots$

Pembahasan No.7

Sisa pembagian $q(x)$ oleh $(x-1)$ ialah $5$ maka $$q(1)=5\Rightarrow 2b+c+2=5$$
Sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+1)$ ialah $6$ maka $$p(-1)=6 \Rightarrow 1-2b+c=6$$
Dengan menuntaskan sistem persamaan yang didapatkan dari dua persamaan di atas \begin{split}2b+c & = 3\\-2b+c & = 5\end{split} didapatkan $4b=-2$ dan $c=4$ .
Makara $4b+c=-2+4=2$

 Soal No.8

Pict From : Epsilon positif

Diketahui suatu bulat kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui sentra suatu bulat besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bulat merupakan diameter dari bulat kecil, menyerupai pada gambar. Luas kawasan irisan kedua bulat ialah ...

Pembahasan No.8

Pict from : Epsilon positif

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh sebab itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Pict from : Epsilon positif

Pada gambar di atas daerahberwarna biru merupakan tembereng bulat besar.
Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE. Karena DE merupakan diameter bulat kecil maka sudut DAE ialah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE ialah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9\pi$ dan luas segitiga DAE ialah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$ .
Oleh sebab itu luas tembereng di atas (warna biru) ialah $9\pi - 18$ .

Bagian kedua

Pict from : Epsilon positif

Daerah berwarna biru di atas merupakan kawasan setengah bulat yang kecil (karena DE ialah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$ .
Makara luas kawasan irisan tersebut ialah $9\pi - 18 +9\pi= 18\pi-18$

Soal No.9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x +1)\ dx = 8$
dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$
maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$
ialah ...

Pembahasan No.9

Konsep Dasar
Sifat-sifat integral tentu :
i). $ \int \limits_a^c (f(x)+g(x)) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int \limits_a^c g(x) dx$
ii). $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int\limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx$
iii). $ \int \limits_{-a}^a f(x) dx = 2\int\limits_0^a f(x) dx \, $
bila $ f(x) $ fungsi genap.
iv). $ \int \limits_{-a}^a f(x)g(x) dx = 0 \,$ bila $ f(x) $ fungsi genap dan $ g(x) $ fungsi ganjil.
Syarat fungsi genap dan fungsi ganjil :
$ f(x) $ fungsi genap syaratnya
$ f(-x) = f(x) $
$ f(x) $ fungsi ganjil syaratnya
$ f(-x) = -f(x) $
Fungsi $ y = \sin x $ ialah fungsi ganjil karena
$ f(-x) = \sin (-x) = -\sin x = -f(x) $
$\clubsuit $ Pembahasan
Pada soal, $ f(x) $ fungsi genap dan
$ \sin x $ fungsi ganjil sehingga
$ \int_{-4}^4 f(x) \sin x dx = 0 $
dari sifat(iv).

Menentukan $ \int_{0}^4 f(x)dx $
dengan sifat(i) dan (iii)
$\begin{align} \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx & = 8 \\ \int_{-4}^4 [f(x) \sin x + f(x) ] dx & = 8 \\ \int_{-4}^4 f(x) \sin x dx +\int_{-4}^4 f(x)dx & = 8 \\ 0 + \int_{-4}^4 f(x)dx & = 8 \\ 2\int_{0}^4 f(x)dx & = 8 \\\int_{0}^4 f(x)dx & = 4 \end{align} $
Menentukan $ \int_{-2}^0 f(x) dx $
dengan sifat (ii) :
$\begin{align} \int_{-2}^4 f(x) dx & = 4 \\\int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x) dx & = 4 \\ \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 & = 4 \\\int_{-2}^0 f(x) dx & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 . \,\heartsuit $

Soal No.10
Nilai $\lim\limits_{x \to\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x\cot^2 x}{1-\sin x}$ ialah ...

Pembahasan No.10

\begin{split}& \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x}\\= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x (\csc^2 x - 1)}{1-\sin x}\\= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x \left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right)}{1-\sin x} \times\dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\\= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x (1 - \sin^2 x)}{(1-\sin x)\sin^2 x}\\= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x (1 - \sin x)(1 + \sin x)}{(1-\sin x)\sin^2 x}\\= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\dfrac{x (1 + \sin x)}{\sin^2 x}\\= & \dfrac{\frac{\pi}{2}\left(1 + \sin \dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin^2 \dfrac{\pi}{2}}\\= & \dfrac{\dfrac{\pi}{2}\left(1 + 1\right)}{1^2}\\= & \pi\end{split}

Lanjutan :