Pembahasan Matdas Sbmptn 2018 Isyarat 550 Part Ii

Soal No.51
Diketahui $a$, $b$, dan $c$ yaitu bilangan real faktual dengan $ab > 1$  . Jika $x+ay=c$  ,  $bx+y=2c$  , dan $x < y$  , maka ...

Pembahasan No.51

Misalkan $x+ay=c$ yaitu persamaan (1) dan $bx+y=2c$ yaitu persamaan (2)
Kalikan persamaan (1) dengan $b$ diperoleh sistem \begin{split}& bx+aby=bc\\& bx+y=2c\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh
$aby-y=bc-2c\Rightarrow y=\dfrac{bc-2c}{ab-1}$
Kalikan persamaan (2) dengan $a$ diperoleh sistem \begin{split}& x+ay=c\\& abx+ay=2ac\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh
$x-abx=c-2ac\Rightarrow x=\dfrac{2ac-c}{ab-1}$
Karena $x < y$ maka $$\dfrac{2ac-c}{ab-1} < \dfrac{bc-2c}{ab-1}$$ $ab > 1$ maka penyebut ruas kiri dan kanan niscaya positif, sehingga $$2ac-c < bc-2c$$ $c$ bilangan real faktual maka $$2a-1 < b-2\Rightarrow 2a < b - 1$$

Soal No.52
Diketahui A={9,7,6,5,4,3,2,1}. Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap yaitu ...

Pembahasan No.52

Banyak cara mengambil 5 anggota dari 8 anggota A di atas yaitu 8C5 = 56.
A terdiri dari 3 angka genap dan 5 angka ganjil. Jika diambil 5 anggota dengan jumlah genap maka kemungkinannya yaitu 3 angka genap dan 2 angka ganjil
1 angka genap dan 4 angka ganjil
Banyak cara mengambil 3 angka genap dan 2 angka ganjil yaitu 3C3×5C3=1×10=10.

Sedangkan banyak cara mengambil 1 angka genap dan 4 angka ganjil yaitu 3C1×5C4=3×5=15.
Dengan demikian banyak cara mengambil 5 angka dengan jumlah genap sebanyak 10+15=25.

Kaprikornus peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap yaitu 25/56

Soal No.53
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku. Jika hasil kali tiga suku pertama yaitu $-27$ dan jumlah tiga suku terakhirnya yaitu $-\dfrac{9}{4}$  , maka suku ketiga barisan geometri tersebut adalah...

Pembahasan No.53
Misalkan empat suku barisan geometri tersebut yaitu $a$, $ar$, $ar^2$ dan $ar^3$  .
Hasil kali tiga suku pertama yaitu $-27$ maka\begin{split}& a\cdot ar \cdot ar^2 = -27\\\Rightarrow & (ar)^3=-27\\\Rightarrow & ar=-3\end{split}
jumlah tiga suku terakhirnya yaitu $-\dfrac{9}{4}$ maka\begin{split}& ar + ar^2 \cdot ar^3 = -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & ar + ar\cdot r+ ar\cdot r^2 = -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & -3 - 3r -3r^2= -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & r^2 + r + 1=\dfrac{3}{4}\\\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 4= 3\\\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 1=0\\\Rightarrow & (2r+1)^2= 0\\\Rightarrow & r=-\dfrac{1}{2}\end{split}

Kaprikornus suku ketiga barisan geometri tersebut yaitu $ar^2=ar\cdot r=-3 \cdot (-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$

Soal No.54

Jika grafik parabola
$f(x)=ax^2+bx+c$   memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$ ,serta memotong garis $y=x-2$  di titik $x=1$ dan $x=6$ ,maka koordinat klimaks parabola tersebut yaitu ...

Pembahasan No.54

grafik parabola memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$ maka $$f(0)=c=4$$

Substitusikan persamaan garis dan parabola diperoleh \begin{split}& ax^2+bx+4 = x-2\\\Rightarrow & ax^2+(b-1)x+6 = 0\end{split}

Karena titik potongnya di $x=1$ dan $x=6$ 

maka \begin{split}& x_1\cdot x_2 =\dfrac{6}{a}\\\Rightarrow & 1\cdot 6 =\dfrac{6}{a}\\\Rightarrow & a=1\end{split}dan\begin{split}& x_1+ x_2 = -\dfrac{b-1}{a}\\\Rightarrow & 1+ 6 = -\dfrac{b-1}{1}\\\Rightarrow & b=-6\end{split}

Dengan demikian $$f(x)=x^2-6x+4$$ Jika puncaknya $(x_p,y_p)$
maka $x_p=-\dfrac{-6}{2}=3$   dan
$y_p=3^3-6\cdot 3+4=-5$  .

Kaprikornus titik puncaknya yaitu $(3,-5)$

Soal No.55

Jika semua akar dari persamaan $x^2-ax+b(b+1)=0$ merupakan bilangan prima untuk suatu bilangan faktual $a$ dan $b$ , maka $a+b$  adalah ...

Pembahasan No.55

Misalkan kedua bilangan prima yang menjadi akar-akar persamaan kuadrat di atas yaitu $x_1$ dan $x_2$ maka $$x_1\cdot x_2=b(b+1)$$

Perhatikan bahwa perkalian $x_1$ dan $x_2$ juga merupakan perkalian antara dua bilangan lingkaran dengan selisih 1 ($b$ dan $b+1$) . Dua bilangan prima yang mungkin dengan selisish 1 hanyalah 2 dan 3. 

Oleh sebab itu $b$ dan $b+1$ berturut-turut yaitu $2$ dan $3$ . Sehingga $x_1=2$ dan $x_2=3$ .
Dengan memakai rumus jumlah akar diperoleh
$x_1+x_2=a \Rightarrow 2+3=a \Rightarrow a=5$.

Kaprikornus $a+b=5+2=7$

Lanjutan :